Relações de equivalência (P/F, P/A e F/A)

Relações entre P e F (P-valor presente e F-valor futuro)

            Esta relação de equivalência irá realizar a conversão de valores entre as datas presente e futura. Para melhor entender a conversão, vejamos o exemplo abaixo, onde a figura ilustra um valor no presente, que se deseja converter para o futuro:

            O valor F pode continuar sendo obtido pela relação: F = P.(1 + i)ⁿ, como vimos na postagem anterior sobre juros compostos, porém é importante saber usar a relação que apresentaremos, baseando-se na tabela F/P:

F = P.(F/P, i%, n)

            O fator (1 + i)ⁿ, que é o chamado fator de acumulação de capital de um pagamento simples, pode ser encontrado nas tabelas para variados i e n. Dessa forma, pensando na equação apresentada e consultando a tabela, o valor que iremos obter é o termo (F/P, i%, n) da fórmula. Explicando a representação entre parênteses:

• F/P- significa que você irá consultar uma tabela de equivalência F/P, tendo um valor de P e buscando o valor F;
• i%- é a taxa de juros em questão;
• n- é o período em questão.

            O valor obtido na tabela se multiplicado pelo termo P nos dará o valor futuro.

Exemplificando: Obteve-se um empréstimo de R$ 15.000,00 em uma financeira que cobra 5% ao mês de juro. Qual será o valor que deve-se pagar para um prazo do empréstimo de seis meses?

Solução: Consultando a tabela de fator de valor futuro de um pagamento simples obtemos para (F/P, i%, n) o seguinte valor: (F/P, 5%, 6)=1,3401. Dessa forma basta fazer:

F = P.(F/P, i%, n) = 15000*1,3401 = 20101,50 (R$)

            Caso você possua o valor futuro e deseje conhecer o valor presente o raciocínio é semelhante, mudando a tabela de consulta e a forma de representação. A tabela que deve ser consultada é a de Fator de valor presente para um pagamento simples e a representação será:

P = F.(P/F, i%, n)

Relações entre A e P (A- parcela da série de pagamento e P- valor futuro)

            Nesta relação objetiva-se “diluir” um valor presente numa série de equivalência, ou transformar essa série em um valor presente. Observando a ilustração abaixo, tendo sido dado A, deve-se encontrar P, ou seja, queremos que o fluxo de caixa apresentado em (a) se torne o fluxo em (b):

             Para este caso, a representação será: P = A.(P/A, i%, n), e deve ser consultada a tabela de fator de valor presente de uma série uniforme.

            Para o caso oposto, tendo sido dado o valor presente e objetivando-se determinar qual seria o valor da série de prestações (A), deveria ser feito: A = P.(A/P, i%, n) e seria consultada a tabela de fator de valor anual de um valor presente (fator de recuperação de capital).

Exemplificando: Calcular o valor de prestação de um empréstimo de R$20.000,00 com 8 pagamentos iguais, sendo a taxa de 13 % ao mês.

Solução: Representando esquematicamente: 

            A figura do fluxo de caixa nos indica que na data zero, tivemos uma entrada de caixa (é o valor emprestado), porém da data um em diante terá que ser feito o pagamento desse empréstimo. Como as parcelas são iguais, teremos um mesmo valor A, para elas. Calculando:

Da tabela (A/P, 13%,8) = 0,2084, então: P = P.(A/P, i%, n) = 20000*0,2084 = 4168,00 (R$)

Relações entre F e A (F- valor futuro e A- parcela da série de pagamento)

            O pensamento é análogo para as relações anteriores. Dispondo do valor para a série de pagamentos e desejando-se obter o valor futuro da mesma deve-se pesquisar na tabela de fator de valor futuro de uma série anual e a representação será: F = A.(F/A, i%, n).

            Para o caso de ter o valor futuro e desejar obter a série de pagamentos a tabela é a de fator de valor anual de um valor futuro (fator de formação de capital) sob a representação: A = F.(A/F, i%, n).

Exemplificando: Quanto deve ser depositado anualmente numa conta que paga juros de 12% ao ano, para que se obtenha daqui a 14 anos R$ 500.000,00?

Solução:

A = F.(A/F, i%, n) = 500000 (A/F, 12%, 14) = 500000*0,0309 = 15450,00 (R$) 

Aprendendo algo mais…

            Além das relações apresentadas temos ainda as chamadas séries gradiente e perpétuas, que podem ser consideradas um pouco mais avançadas e não de uso muito comum. Porém, todo curso de engenharia econômica apresentará tais séries, então não deixaremos de falar sobre elas.

            Para saber mais sobre estes temas consulte nossos post relacionado abaixo.

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