Séries gradiente

As séries gradiente, devido a suas características são empregadas em casos onde haja um aumento do valor a ser pago (ou recebido) durante o tempo. Caso esse acréscimo de valor possa ser considerado dentro dos termos da série ela será aplicada para simplificar fluxos, permitindo cálculos de equivalência em fluxos de caixa como vimos anteriormente. Um exemplo de aplicação comum é para estimar despesas com manutenção, em especial em equipamentos mecânicos, que com o tempo irão requerer maior desembolso em manutenção para funcionamento adequado.

O esquema da série gradiente pode ser entendido com o auxilio da figura abaixo:

Analogamente ao apresentado até aqui, para encontrar uma relação de equivalência, pode-se utilizar as fórmulas abaixo, através da consulta das tabelas financeiras. Para relacionar a série gradiente com valor presente, parcelas ou valor futuro podemos fazer:

P = G (P/G, i%, n)

A = G (A/G, i%, n)

F = G (F/G, i%, n)

Porém, para poder aplicar as equações, o fluxo de caixa deve apresentar comportamento igual ao apresentado na figura acima. Caso isso não ocorra, porém fique claro que o fluxo de caixa apresenta característica semelhante, pode-se fazer adequações para obter tal comportamento. Analisando o exemplo abaixo será possível entender tal procedimento.

Exemplificando: Calcular na data zero a equivalência para o fluxo de caixa abaixo

Solução: Se analisarmos este fluxo comparativamente com o fluxo apresentado para série gradiente, perceberemos que os dois são diferentes. Dessa forma, não basta simplesmente aplicar a equação apresentada. Como desejamos obter o valor presente (na data zero), a equação a ser utilizada é P = G (P/G, i%, n), porém, precisam ser feita algumas adequações antes.

O fluxo apresentado, pode ser decomposto da seguinte forma:

Caso tenha dificuldades para compreender a equivalência, realize a soma dos valores em cada período. Você irá perceber que se somar os valores dos fluxos decompostos acabará obtendo os mesmos valores do fluxo inicial proposto.

Agora, temos apenas formas de representação já conhecidas. Para calcular o valor presente (na data zero), basta achar uma equivalência para a série de valores (A) e para a série gradiente (G). Dessa forma teremos:

P = VP + A (P/A, i%, n) + G (P/G, i%, n)

Substituindo os valores:

P = -8000 + (-1000) (P/A, 10%, 5) + (-200) (P/G, 10%, 5)

Consultando as tabelas obtemos:

P = -8000 + (-1000) (3,7908) + (-200) (6,8618) = -13163,16

Séries perpétuas

Este tipo de série (também conhecida como infinita ou de custo capitalizado) é assim chamada por possuir grande número de períodos. Esse tipo de série é comum em aposentadorias por exemplo.

O valor presente é obtido através da seguinte forma:

Exemplificando: Qual o valor que deve ser depositado em um fundo, para que se receba para sempre o valor anual de R$ 12.000,00 considerando a taxa de juros anual de 10%?

Solução: